Dari fungsi trigonometri sudut lancip di tingkat SMP (sisi depan/sisi miring), ketika kita menghadapi sudut lebih besar dari $90^\circ$ atau sudut negatif, segitiga siku-siku secara geometris tidak lagi berlaku. Saat itulah,lingkaran satuanmenjadi alat inti untuk menyatukan semua sudut dan mendefinisikan fungsi trigonometri.
1. Definisi Fungsi Trigonometri Sudut Sembarang
Misalkan $\alpha$ adalah sudut sembarang, sisi akhirnya memotong lingkaran satuan di titik $P(x, y)$, maka didefinisikan:
- Sinus (Sine): $\sin \alpha = y$
- Kosinus (Cosine): $\cos \alpha = x$
- Tangen (Tangent): $\tan \alpha = \frac{y}{x} \quad (x \neq 0)$
Jika titik $P(x, y)$ terletak pada lingkaran dengan jari-jari $r$, maka $\sin \alpha = \frac{y}{r}, \cos \alpha = \frac{x}{r}, \tan \alpha = \frac{y}{x}$.
2. Hubungan Dasar Fungsi Trigonometri Sudut yang Sama
Diturunkan langsung dari persamaan lingkaran satuan $x^2 + y^2 = 1$:
1. Hubungan Kuadrat: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$
2. Hubungan Perbandingan: $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$
2. Hubungan Perbandingan: $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$
1. Kumpulkan semua suku polinomial: satu persegi x², tiga batang persegi panjang x, serta dua persegi satuan 1x1.
2. Mulailah menggabungkan mereka secara geometris.
3. Mereka membentuk persegi panjang yang lebih besar secara sempurna! Lebar adalah (x+2), tinggi adalah (x+1).
PERTANYAAN 1
Tuliskan himpunan sudut yang memiliki sisi akhir sama dengan $60^\circ$, dan temukan elemen $\beta$ yang sesuai dengan pertidaksamaan $-360^\circ \le \beta < 360^\circ$.
Himpunan $\{ \beta | \beta = k \cdot 360^\circ + 60^\circ, k \in \mathbb{Z} \}$; elemen $\beta = 60^\circ, -300^\circ$
Himpunan $\{ \beta | \beta = k \cdot 180^\circ + 60^\circ, k \in \mathbb{Z} \}$; elemen $\beta = 60^\circ$
Himpunan $\{ \beta | \beta = k \cdot 360^\circ + 60^\circ, k \in \mathbb{Z} \}$; elemen $\beta = 60^\circ, 420^\circ$
Himpunan $\{ \beta | \beta = 60^\circ \}$; elemen $\beta = 60^\circ$
Benar! Sudut-sudut dengan sisi akhir yang sama berbeda sebanyak kelipatan bulat dari $360^\circ$. Ketika $k=0$, $\beta=60^\circ$; ketika $k=-1$, $\beta=-300^\circ$, keduanya memenuhi syarat rentang.
Petunjuk: Bentuk umum sudut dengan sisi akhir yang sama adalah $k \cdot 360^\circ + \alpha$. Cari nilai $k$ yang sesuai dalam rentang ini.
PERTANYAAN 2
Diketahui $\alpha$ adalah sudut lancip, maka $2\alpha$ adalah ( ).
sudut kuadran pertama
第二象限角
sudut positif kurang dari $180^\circ$
sudut kuadran pertama atau kedua
Benar. Karena $\alpha$ adalah sudut lancip, yaitu $0^\circ < \alpha < 90^\circ$, maka $0^\circ < 2\alpha < 180^\circ$. Perhatikan bahwa $2\alpha$ bisa menjadi sudut siku-siku, tetapi tidak harus termasuk dalam satu kuadran tertentu.
Perhatikan: Rentang sudut lancip adalah $(0, 90^\circ)$, setelah dikalikan dua menjadi $(0, 180^\circ)$. Ini mencakup kuadran pertama, kuadran kedua, serta batas 90 derajat.
PERTANYAAN 3
Diketahui sisi akhir sudut $\theta$ melalui titik $P(-12, 5)$, carilah nilai $\sin \theta$.
$5/13$
$-12/13$
$-5/12$
$13/5$
Benar! Pertama hitung $r = \sqrt{(-12)^2 + 5^2} = 13$. Menurut definisi, $\sin \theta = y/r = 5/13$.
Hitung $r$: $r = \sqrt{x^2+y^2}$. Definisi nilai sinus adalah $y/r$.
PERTANYAAN 4
(Jawaban lisan) Misalkan $\alpha$ adalah sudut dalam segitiga, mana dari $\sin \alpha, \cos \alpha, \tan \alpha$ yang bisa bernilai negatif?
Hanya $\sin \alpha$
$\cos \alpha$ 和 $\tan \alpha$
Ketiganya bisa
Hanya $\tan \alpha$
Benar. Rentang sudut dalam segitiga adalah $(0, \pi)$. Di kuadran pertama $(0, \pi/2)$ semua bernilai positif; di kuadran kedua $(\pi/2, \pi)$ (sudut tumpul), sinus bernilai positif, kosinus dan tangen keduanya negatif.
Petunjuk: Sudut dalam segitiga bisa lancip, siku-siku, atau tumpul. Pertimbangkan tanda fungsi saat sudut tumpul berada di kuadran kedua.
PERTANYAAN 5
Gunakan metode lima titik untuk menggambar grafik $y = -\sin x$ pada interval $[-\pi, \pi]$, titik mana yang bukan titik penting?
$(0, 0)$
(\pi/2, -1)
(\pi/4, -\sqrt{2}/2)
(\pi, 0)
Benar. Metode lima titik biasanya mengambil titik-titik seperempat periode, yaitu $0, \pi/2, \pi, 3\pi/2, 2\pi$ dan nilai fungsi yang sesuai. $\pi/4$ bukan titik kunci standar dalam metode lima titik.
Metode lima titik memilih posisi penting di mana fungsi mencapai nilai maksimum, minimum, dan nol.
PERTANYAAN 6
Fungsi manakah di bawah ini yang merupakan fungsi ganjil dan berperiode $\pi$?
$y = \sin 2x$
$y = 1 - \cos x$
$y = \sin x \cos x$
$y = \tan x$
正确。$y = \sin 2x$ 是奇函数，且周期 $T = 2\pi/2 = \pi$。注意 $y = \tan x$ 虽然也是奇函数且周期为 $\pi$，但 $\sin 2x$ 在高中题目中更常作为此类型的标准答案，且 $y = \sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin 2x$ 也是满足条件的（选项A更直接）。
Periksa rumus periode $T = 2\pi/\omega$ dan sifat ganjil-genap $f(-x) = -f(x)$.
PERTANYAAN 7
Tanpa menghitung nilai, bandingkan ukuran $\cos \frac{2\pi}{7}$ dengan $\cos(-\frac{3\pi}{5})$.
$\cos \frac{2\pi}{7} > \cos(-\frac{3\pi}{5})$
$\cos \frac{2\pi}{7} < \cos(-\frac{3\pi}{5})$
Sama
Tidak dapat dibandingkan
Benar. $\cos(-3\pi/5) = \cos(3\pi/5)$. Karena $2\pi/7 < \pi/2 < 3\pi/5$, dan fungsi kosinus monoton turun pada interval $[0, \pi]$, maka sudut yang lebih kecil memiliki nilai kosinus yang lebih besar.
Petunjuk: Gunakan rumus identitas $\cos(-\alpha) = \cos \alpha$. Bandingkan besar sudut dalam satu interval monoton yang sama.
PERTANYAAN 8
Diketahui fungsi $f(x) = \frac{1}{2} \sin(2x - \frac{\pi}{3})$, periode positif terkecilnya adalah ( ).
$\pi$
$2\pi$
$\pi/2$
$4\pi$
Benar. Berdasarkan rumus periode $T = 2\pi / |\omega|$, di sini $\omega = 2$, sehingga $T = 2\pi / 2 = \pi$.
Rumus periode: $T = 2\pi / \omega$.
PERTANYAAN 9
Hitung nilai $\sin 15^\circ \cos 15^\circ$.
$1/4$
$1/2$
$\sqrt{3}/4$
$1/8$
Benar. Gunakan invers rumus sudut ganda: $\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2} \sin 2\alpha$. Jadi $\sin 15^\circ \cos 15^\circ = \frac{1}{2} \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = 1/4$.
Petunjuk: Gunakan rumus sudut ganda $\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha$.
PERTANYAAN 10
Diketahui $\sin \beta + \cos \beta = 1/5, \beta \in (0, \pi)$, maka nilai $\tan \beta$ adalah ( ).
$-4/3$
$3/4$
$-3/4$
$4/3$
Benar. Kuadratkan kedua sisi: $1 + 2\sin \beta \cos \beta = 1/25 \implies \sin 2\beta = -24/25$. Karena jumlahnya $1/5 > 0$ dan hasil kali negatif, maka $\sin \beta > 0, \cos \beta < 0$ (kuadran kedua). Dengan menyelesaikan sistem persamaan diperoleh $\sin \beta = 4/5, \cos \beta = -3/5$, sehingga $\tan \beta = -4/3$.
Petunjuk: Kuadratkan persamaan untuk mencari $\sin \beta \cos \beta$, kemudian gunakan $\sin^2 + \cos^2 = 1$ untuk menemukan nilai sinus dan kosinus spesifik.
Tantangan: Pemodelan Trigonometri pada Roda Putar
Analisis Fenomena Siklik Nyata
Roda putar memiliki titik tertinggi 120m dari tanah dan titik terendah 10m dari tanah, dan membutuhkan waktu 30 menit untuk berputar satu kali. Anggap roda berputar seragam, dan penumpang mulai masuk ke kabin dari titik terendah.
Q1
Tentukan fungsi analitis tinggi $h$ (m) dari penumpang dari tanah terhadap waktu $t$ (menit).
Penjelasan Detail:
1. Amplitudo $A$: Jari-jari adalah $(120 - 10) / 2 = 55$m.
2. Perpindahan vertikal $k$: Tinggi pusat adalah $(120 + 10) / 2 = 65$m.
3. Kecepatan sudut $\omega$: Periode $T=30$, maka $\omega = 2\pi / 30 = \pi / 15$.
4. Fase $\phi$: Pada $t=0$ berada di titik terendah $h=10$. Misalkan $h(t) = 55\sin(\frac{\pi}{15}t + \phi) + 65$. Saat $t=0$, $55\sin \phi + 65 = 10 \implies \sin \phi = -1 \implies \phi = -\pi/2$.
Fungsi Analitis: $h(t) = 55\sin(\frac{\pi}{15}t - \frac{\pi}{2}) + 65$ 或 $h(t) = 65 - 55\cos(\frac{\pi}{15}t)$。
1. Amplitudo $A$: Jari-jari adalah $(120 - 10) / 2 = 55$m.
2. Perpindahan vertikal $k$: Tinggi pusat adalah $(120 + 10) / 2 = 65$m.
3. Kecepatan sudut $\omega$: Periode $T=30$, maka $\omega = 2\pi / 30 = \pi / 15$.
4. Fase $\phi$: Pada $t=0$ berada di titik terendah $h=10$. Misalkan $h(t) = 55\sin(\frac{\pi}{15}t + \phi) + 65$. Saat $t=0$, $55\sin \phi + 65 = 10 \implies \sin \phi = -1 \implies \phi = -\pi/2$.
Fungsi Analitis: $h(t) = 55\sin(\frac{\pi}{15}t - \frac{\pi}{2}) + 65$ 或 $h(t) = 65 - 55\cos(\frac{\pi}{15}t)$。
Q2
Berapa tinggi dari tanah setelah penumpang berputar selama 5 menit?
Penjelasan Detail:
Substitusi $t=5$ ke dalam rumus:
$h(5) = 65 - 55\cos(\frac{\pi}{15} \cdot 5) = 65 - 55\cos(\frac{\pi}{3})$
$h(5) = 65 - 55 \cdot (1/2) = 65 - 27.5 = 37.5$m.
Kesimpulan: Tingginya adalah 37,5 meter.
Substitusi $t=5$ ke dalam rumus:
$h(5) = 65 - 55\cos(\frac{\pi}{15} \cdot 5) = 65 - 55\cos(\frac{\pi}{3})$
$h(5) = 65 - 55 \cdot (1/2) = 65 - 27.5 = 37.5$m.
Kesimpulan: Tingginya adalah 37,5 meter.
Q3
Jika kabin berputar seragam, bagaimana perubahan posisi kabin setelah setengah periode tercermin dalam proyeksi lingkaran satuan?
Penjelasan Detail:
Setelah setengah periode (15 menit), sudut bertambah sebesar $\pi$ radian. Pada lingkaran satuan, ini berarti titik $P(x, y)$ berputar ke titik simetris terhadap titik asal, yaitu $P'(-x, -y)$. Dalam fungsi trigonometri ini direpresentasikan oleh rumus identitas: $\sin(\alpha + \pi) = -\sin \alpha$. Oleh karena itu, jika awalnya di titik terendah, setelah setengah periode pasti berada di titik tertinggi.
Setelah setengah periode (15 menit), sudut bertambah sebesar $\pi$ radian. Pada lingkaran satuan, ini berarti titik $P(x, y)$ berputar ke titik simetris terhadap titik asal, yaitu $P'(-x, -y)$. Dalam fungsi trigonometri ini direpresentasikan oleh rumus identitas: $\sin(\alpha + \pi) = -\sin \alpha$. Oleh karena itu, jika awalnya di titik terendah, setelah setengah periode pasti berada di titik tertinggi.
✨ Poin Utama
Pada lingkaran satuanlihat koordinat,$y$ adalah sinus $x$ adalah kosinus.Jumlah kuadratselalu sama dengan satu,perbandingan tangenakan abadi!
💡 Koordinat adalah nilai fungsi
Ingatlah bahwa 'lingkaran satuan' adalah inti utama. Koordinat x dari titik potong sisi akhir dengan lingkaran satuan adalah $\cos \alpha$, koordinat y adalah $\sin \alpha$, tidak perlu dibagi lagi dengan jari-jari.
💡 Rumus cepat tanda kuadran
“Satu semua positif, dua sinus, tiga tangen, empat kosinus”. Ini menentukan bagaimana kamu memilih tanda positif atau negatif saat melakukan operasi akar (seperti mencari $\cos$ dari $\sin$).
💡 Domain fungsi tangen
Karena $\tan \alpha = y/x$, saat sisi akhir berada di sumbu y (yaitu $\alpha = k\pi + \pi/2$), maka $x=0$, dan nilai tangen tidak terdefinisi pada saat itu.
💡 Peringatan satuan radian
Saat menerapkan rumus Taylor atau model siklik fisika ($T=2\pi/\omega$), sudut harus menggunakan satuan radian, tidak boleh langsung dimasukkan nilai dalam satuan derajat.
💡 Metode lima titik untuk menggambar
Saat menggambar kurva sinus dan kosinus, tentukan tiga titik nol dan dua titik ekstrem, hubungkan dengan garis gelombang halus, jangan gambar seperti garis patah-patah.